Relasi dan Fungsi Matematika

BAB I

PENDAHULUAN



Matematika diskret atau diskrit adalah cabang matematika yang membahas segala sesuatu yang bersifat diskrit. Diskrit disini artinya tidak saling berhubungan (lawan dari kontinyu). Objek yang dibahas dalam Matematika Diskrit seperti bilangan bulat, graf, atau kalimat logika tidak berubah secara kontinyu, namun memiliki nilai yang tertentu dan terpisah. Beberapa hal yang dibahas dalam matematika ini adalah teori himpunan, teori kombinatorial, permutasi, relasi, fungsi, rekursif, teori graf, dan lain-lain.

Hubungan (relationship), antara elemen himpunan dengan elemen himpunan lainnya sering dijumpai pada banyak masalah. Misalnya hubungan antara mahasiswa dengan mata kuliah yang diambil, hubungan antara bilangan genap dan bilangan yang habis dibagi 2 dan sebagainya. Di dalam bidang ilmu komputer, dapat dicontohkan hubungan antara program komputer dengan peubah yang digunakan, hubungan antara bahasa pemrograman dengan pernyataan (statement) yang sah, hubungan antara plaintext dan chipertext pada bidang kriptografi dan sebagainya (Munir,2001). Hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan lain dinyatakan dengan struktur yang disebut relasi. Dan fungsi merupakan bentuk khusus dari relasi.



BAB II

PEMBAHASAN

RELASI DAN FUNGSI

1. RELASI

a. Relasi dalam Himpunan

· Relasi dari himpunan A ke himpunan B, artinya memetakan setiap anggota pada himpunan A (x ∈ A) dengan anggota pada himpunan B (y ∈ B)

· Relasi antara himpunan A dan himpunan B juga merupakan himpunan, yaitu himpunan yang berisi pasangan berurutan yang mengikuti aturan tertentu, contoh (x,y) ∈ R

· Relasi biner R antara himpunan A dan B merupakan himpunan bagian dari cartesian product A × B atau R ⊆ (A × B)



b. Notasi dalam Relasi

· Relasi antara dua buah objek dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan (x,y) ∈ R

· Contoh: relasi F adalah relasi ayah dengan anaknya, maka:

F = {(x,y)|x adalah ayah dari y}

xRy dapat dibaca: x memiliki hubungan R dengan y



c. Contoh Relasi

Humpunan A : himpunan nama orang

A={Via, Andre, Ita}

Himpunan B : himpunan nama makanan

B={es krim, coklat, permen}

Relasi makanan kesukaan (R) dari himpunan A dan B adalah:

A B



A : Domain

B : Kodomain

R : Relasi dengan nama “ Makanan Kesukaan “

Relasi R dalam A artinya domain dan kodomainnya adalah A



d. Cara Menyatakan Relasi

1) Diagram Panah

A B



R={(x,y)|x menyukai y; x ∈ A dan y ∈ B

2) Himpunan Pasangan Berurutan

R={(Via,permen) , (Via,coklat) , (Andre,coklat) , (Andre,es krim) , (Ita,es krim)}

3) Diagram Kartesius





4) Tabel


Nama

Makanan


Via

Permen


Via

Coklat


Andre

Coklat


Andre

Es Krim


Ita

Es Krim




5) Matriks

· Baris = domain

· Kolom = kodomain






Permen

Coklat

Es krim


Via

1

1

0


Andre

0

1

1


Ita

0

0

1



6) Graph Berarah

· Hanya untuk merepresentasikan relasi pada satu himpunan (bukan antara dua himpuanan).

· Tiap unsur himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga simpul atau vertex)

· Tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur (arc).

i. Jika (a, b) ∈ R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b.

ii. Simpul a disebut simpul asal (initial vertex)

iii. Simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex)

iv. Pasangan terurut (a, a) dinyatakan dengan busur dari simpul a ke simpul a sendiri. Busur semacam itu disebut loop

· Contoh graph berarah

Misalkan R = {(a, b), (b, c), (b, d), (c, c) (c, a), (c, d), (d, b)} adalah relasi pada himpunan {a, b, c, d}.





7) Latihan 1

· Z = {1,2,3,4};

· R = {(x,y)|x > y ; x ∈ Z dan y ∈ Z}

· Nyatakan relasi tersbut dalam bentuk

a) Himpunan pasangan berurutan

b) Matrix

c) Graf

e. Sifat-sifat Relasi

1) Refleksif

· Sebuah relasi dikatakan refleksif jika sedikitnya: x ∈ A, xRx

· Minimal



2) Transitif

· Sebuah relasi dikatakan bersifat transitif jika:

xRy , yRz => xR ; (x,y, z) ∈ A

· Contoh: R = {(a,d),(d,e),(a,e)}

3) Simetrik

· Sebuah relasi dikatakan bersifat simetris jika:

xRy, berlaku pula yRx untuk (x dan y) ∈ A

· Contoh:

A={a,b,c,d}

R={(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(a,b),(b,a),(c,d),(d,c)}

4) Asimetrik

· Relasi asimetrik adalah kebalikan dari relasi simetrik

Artinya (a,b) ∈ R, (b,a) ∉ R

· Contohnya: R = {(a,b), (a,c), (c,d)}

5) Anti Simetrik

· Relasi R dikatakan antisimetrik jika, untuk setiap x dan y di dalam A; jika xRy dan yRx maka x=y

6) Equivalen

· Sebuah relasi R dikatakan equivalen jika memenuhi syarat:

a) Refelksif

b) Simeteris

c) Transitif

7) Partially Order Set (POSET)

· Sebuah relasi R dikatakan terurut sebagian (POSET) jika memenuhi syarat:

a) Refleksif

b) Antisimetri

c) Transitif

8) Latihan 2

a) A={1,2,3,4} Sebutkan sifat untuk relasi < pada himpunan A !

b) Apakah relasi berikut asimetris, transitif?

R = {(1,2),(3,4),(2,3)}

c) Apakah R = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b),(b,a),(c,c)} refleksif?

d) R merupakan relasi pada himpunan Z, yang dinyatakan oleh aRb jika dan hanya jika a=b atau a= –b

Periksa, apakah relasi tersebut merupakan relasi ekivalen !



f. Operasi dalam Relasi

· Operasi himpunan seperti irisan, gabungan, selisih, dan penjumlahan (beda setangkup) juga berlaku pada relasi

· Jika R1 dan R2 masing-masing merupakan relasi dari himpuna A ke himpunan B, maka R1 ∩ R2, R1 ∪ R2, R1 – R2, dan R1 ⊕ R2 juga adalah relasi dari A ke B.

1) Contoh operasi relasi

Misalkan A = {a, b, c} dan B = {a, b, c, d}.

Relasi R1 = {(a, a), (b, b), (c, c)}

Relasi R2 = {(a, a), (a, b), (a, c), (a, d)}

Maka :

· R1 ∩ R2 = {(a, a)}

· R1 ∪ R2 = {(a, a), (b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)}

· R1 − R2 = {(b, b), (c, c)}

· R2 − R1 = {(a, b), (a, c), (a, d)}

· R1 ⊕ R2 = {(b, b), (c, c), (a, b), (a, c), (a, d)}

2) Operasi dalam bentuk matriks

· Misalkan bahwa relasi R1 dan R2 pada himpunan A dinyatakan oleh matriks







· Maka



g. Komposisi Relasi

· Misalkan :

R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B

T adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C.

· Komposisi R dan S, dinotasikan dengan T ο R, adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh :

T ο R = {(a, c) | a ∈ A, c ∈ C, dan untuk suatu b ∈ B sehingga (a, b) ∈ R dan (b, c) ∈ S }

· Contoh komposisi relasi

Ø Misalkan, A = {a, b, c}, B = {2, 4, 6, 8} dan C = {s, t, u}

Ø Relasi dari A ke B didefinisikan oleh :

R = {(a, 2), (a, 6), (b, 4), (c, 4), (c, 6), (c, 8)}

Ø Relasi dari B ke C didefisikan oleh :

T = {(2, u), (4, s), (4, t), (6, t), (8, u)}

Ø Maka komposisi relasi R dan T adalah

T ο R = {(a, u), (a, t), (b, s), (b, t), (c, s), (c, t), (c, u)}


2. FUNGSI

a. Fungsi dari Himpunan

· Fungsi adalah bentuk khusus dari relasi

· Sebuah relasi dikatakan fungsi jika xRy, untuk setiap x anggota A memiliki tepat satu pasangan, y, anggota himpunan B

· Kita dapat menuliskan f(a) = b, jika b merupakan unsur di B yang dikaitkan oleh f untuk suatu a di A.

· Ini berarti bahwa jika f(a) = b dan f(a) = c maka b = c.

· Jika f adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, kita dapat menuliskan dalam bentuk : f : A → B

artinya f memetakan himpunan A ke himpunan B.

· Nama lain untuk fungsi adalah pemetaan atau transformasi.



b. Domain, Kodomain, dan Jelajah

· f : A → B

· A dinamakan daerah asal (domain) dari f dan B dinamakan daerah hasil (codomain) dari f.

· Misalkan f(a) = b,

maka b dinamakan bayangan (image) dari a,

dan a dinamakan pra-bayangan (pre-image) dari b.

· Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f dinamakan jelajah (range) dari f.



c. Penulisan Fungsi

1) Himpunan pasangan terurut.

· Misalkan fungsi kuadrat pada himpunan {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10} maka fungsi itu dapat dituliskan dalam bentuk :

f = {(2, 4), (3, 9)}

2) Formula pengisian nilai (assignment)

· f(x) = x2 + 10,

· f(x) = 5x





d. Jenis-jenis Fungsi

1) Fungsi Injektif

· Fungsi satu-satu

· Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu jika dan hanya jika untuk sembarang a1 dan a2 dengan a1 tidak sama dengan a2 berlaku f(a1) tidak sama dengan f(a2). Dengan kata lain, bila a1 = a2 maka f(a1) sama dengan f(a2).







2) Fungsi Surjektif

· Fungsi kepada

· Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada jika dan hanya jika untuk sembarang b dalam kodomain B terdapat paling tidak satu a dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b.

· Suatu kodomain fungsi surjektif sama dengan range-nya (semua kodomain adalah peta dari domain).







3) Fungsi Bijektif

· Fungsi f: A → B disebut disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika untuk sembarang b dalam kodomain B terdapat tepat satu a dalam domain A sehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota A yang tidak terpetakan dalam B.

· Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah fungsi injektif sekaligus fungsi surjektif.





4) Fungsi Invers

· Fungsi invers merupakan kebalikan dari fungsi itu sendiri

f : A ® B di mana f(a) = b

f –1: B ® A di mana f –1(b) = a

· Catatan: f dan f –1 harus bijective



e. Operasi Fungsi

· (f + g)(x) = f(x) + g(x)

· (f . g)(x) = f(x) . g(x)

· Komposisi:

(f o g)(x) = f(g(x))



f. Latihan 3

f(x) = x2 + 1

g(x) = x + 6

Tentukan:

a. (f + g)(x)

b. (f – g)(x)

c. (f . g)(x)

d. (f o g)(x)

e. Invers dari g(x)